年末は寺院、新年は神社が普通だが

大みそかにお寺へ行って、神社には初詣に行くというのが年中行事のように思いますが、最近の有名神社の混雑ぶりは大変ですので、年末に神社へ行くのが利口かもしれませんね。

行くなら12月に縁日のある神社が良いのでしょうが、初詣に比べればどこも静かでいいかもしれません。
こういうのって住んでいるところの近くの神社が良いんじゃないかと思います。

旅行を兼ねてなら、伊勢神宮とか出雲大社(実は出雲大社は行ったことがありません)とか。
三島大社とか箱根権現など温泉がわりと近くにあるのもよし。