アーヘン～ケルンは州チケットを買う

ようぜふさん

アーヘンにいかれる時は、ケルンやアーヘンの属する「ノルトライン＝ヴェストファーレン州」のローカル列車、バス、トラムが1日乗り放題のチケットを使ったらどうでしょうか。
https://fahrkarten.bahn.de/privatkunde/pauschalpreisbuchen/pauschalpreis_start.post?lang=en&country=GBR&redirected=1&dbkanal_007=L04_S02_D002_KIN0060_REGIO-LAENDERTICKETS-KARTE-NRW_LZ03#stay

ケルン～アーヘンは、片道18,10ユーロのようですので、おひとりなら「SchönerTagTicket Single NRW」という31ユーロのチケットを買うと、元が取れます。
このチケットは、2人以上なら「SchönerTagTicket NRW」というチケットで、2人～5人まで使えて46ユーロ。
駅の券売機でも買えますし、DBのアプリでも。

ただし、月～金はに使用開始が9時からという縛りがあります。土日なら、夜中の0時からOK。
ブリュールトは、ケルン近くの「Brühl」ですか。それでしたらNRWチケットで行けます。

電車の料金や時刻は、以下のドイツ国鉄のサイトで検索してください。
ただ、料金がわからないものもあります。例えば、ケルン～アーヘンと検索すると「VRS-Fare」と出ます。
そこの管轄の鉄道会社（日本で言ったらJR東海とか）の料金体系になるので、ちょっとややこしいのですが…。
＜ドイツ国鉄＞
https://reiseauskunft.bahn.de//bin/query2.exe/en?rt=1&
＜VRF＞
https://www.vrs.de/fahrplan/fahrplanauskunft.html

早割は、飛行機のチケットと同じで、個々の列車（ICE、IC、EC）に対する料金なので、安いチケットがなくなっていけば、料金も高くなっていきます。ローカル列車は基本、正規運賃。
全体の旅程がわからないのですが、それだけの移動でしたら、フランクフルト～ケルンは早割を購入するとお得です。

たぶん、まだドイツ国鉄の料金の仕組みを理解されていないのだと思います。
「ドイツ、早割」のキーワードで検索すれば、いろんな記事がヒットしてきますよ。

良いご旅行になりますように！