現状で、条件が合えばロンドン手続き可能

まず「EU圏での乗継ぎだと最終出国地で免税手続き」が間違いです。
厳密に言うと間違いではありませんが、VAT還付商品を出発空港から荷物預けで最終空港（KIX)まで行くのであれば出発空港でVAT還付できます。
また、EU内の上記取り扱いはシェンゲン協定と関係なく、EUの関税同盟に加盟しているか否かです。

現状イギリスは関税同盟国ですので、ロンドンで荷物預けしたまま関空まで行けるのであればロンドンでVAT還付できます。
ロンドン―パリ―関空が通しの航空券（すべてエアフラまたはロンドン―パリがスカイチームまたはエアフラの提携航空会社）であ
、ロンドンから関空まで荷物を預けることができるのならロンドンで手続きです。
LHR－（BA)－HEL－（AY)－KIXで通しで買った場合もロンドンで還付手続きでした。

従って、ロンドン－パリ－関空の航空会社や別切りかどうかがわからないと答えは出ません。

なお、イギリスが関税同盟ごとEUを離脱したらまた事情が変わってくるので、帰国時期にもよります。
ジョンソンは関税同盟存続したままEU離脱したいなどという勝手なこと言ってますが、EUが許すかどうかはわかりません。
あくまで現状の話です。