西回りがおすすめ（東京→UK→アイルランド→NY→LA)

ミュージカル、私も大好きです。
でも、どれだけ好きでも疲れていると心地よい音楽のおかげで睡眠タイムになる可能性があるので、
時差ボケのことを考慮すると、西回りのほうがおすすめです。

航空チケットですが、日本出発のものを買うと結構高くても、
海外出発ものもはそうでもないケースがあります。ただ全部直行にすると高いです。
なので、それを利用したルートで
（１）東京（乗継便）→ロンドン→ダブリン　　8万円弱
（２）ダブリン（乗継便）→NY→LA→東京　　　9万円強
でスカイスキャナで出てくるので検索してみてはいかがですか。

各都市で1泊以上するのであれば、乗り継ぎリスクとかも少ないと思います。
東京→ロンドン、ダブリン→NYの分だけ、通し（キャリアによる乗継保証になっているもの）
のチケットであればスカイスキャナで出てくるチケットを買っても大丈夫でしょう。

ケイケイさんのおっしゃるとおり、LCCを使うと預け入れ荷物に追加料金がかかるかもです。
ダブリンに行かないのなら、LCCも使わなくていいし、もうちょっと安くなるような気がします。