5人家族で乗れるタクシーはありますか？

チャンギ空港では、「リムジン」乗り場

乗客が最大７人まで乗車できるタクシー・サービスは、「Maxi Cab 」として知られています。
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http://www.limousinecab.com/singapore/maxi-cab/

チャンギ空港では、各ターミナルどこでも、タクシー乗り場には「Taxi」と「Limousine」の２か所があります。
「Limousine」の乗り場か、手前の「Ground Transport Desk」のカウンターにお尋ねになるとよいでしょう。
ホテルに向かうだけなら、お安い乗合のエアポート・シャトルもあります。
Ground Transport Desk で予約することになります。
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チャンギ空港公式サイト To & From Airport
http://www.changiairport.com/getting-around/to-and-from-the-airport


シンガポールでは、すべての座席でシートベルトの着用が義務付けられており、自家用車ではチャイルド・シートが必須ですが、タクシーではチャイルド・シートだけは免除されているように聞いています。
お子様をひざに乗せることはできないと思います。チャイルド・シートについてはお問い合わせになるとよいかもしれません。

定額制なので、空港とホテルの間や、市街地から離れた動物園・ナイトサファリなどへの足以外には、ちょっと費用がかさみますね。

市内の移動でしたら分乗をした方がよいと思いますが、目的地の指定（近くの有名ホテルや有名ショッピング・センターなどにするとよい）や、支払方法などをよく理解しておく必要がありますね。
以上、あるいはその他の点についても何かありましたら、またアドバイス差し上げられる点もあるかと思いますので、お気軽にどうぞ。