まずは割引航空券の基本から

ご希望の旅程を割引の無い正規チケットで買うとエコノミークラスでも180万円かかります。
もちろんこれは現実的な価格ではありません。これを大幅に割り引いた航空券を買うためには制限がいろいろつきます。例外細則含めてそれらをすべてここで記載するのは無理ですが、最低限の条件として
(1)同一区間の往復旅程であること
②全区間同一航空会社であること
③予約後変更がきかないあるいは手数料のとられるチケットであること

があげられます。ご希望の経路はおそらく
日本－英国・ロンドンー（大西洋）－USA・ニューヨーク-(太平洋)－日本　あるいはその逆周りなのでしょう

が、そうすると(1)や②の条件を満たすチケットはありません。
この(1)や②の問題を解決するための割引チケットとして「世界一周航空券」があります。
ところがこの世界一周航空券にもある程度制限があります。
A.同一航空会社グループ（ワンワールド・スカイチームなど）の航空会社を使用すること
B.最低旅行日数が10日以上

他にもいくつか制限があります。ご希望は8日以内で戻ってくることなのでB.の条件を満たしません。
ただしワンワールド（JAL,アメリカン航空、英国航空などのグループ）の世界一周航空券はビジネスクラスやファーストクラスの航空券には旅行日数の制限がありません。

よって、世界一周航空券を使うためには
・旅行日数を引き伸ばし「ワンワールド」エコノミークラス（30万円程度。税金特別料金別途）
・「ワンワールド」ビジネスクラスをもちいて旅行日数の制限をはずす（60万円程度　税金等別途）
の2通りの方法があります。ちなみにビジネスクラスの料金はこうやってエコノミーと並べると非常に割高にみえるかもしれませんが、世界一周航空券のビジネスクラスチケットはかなり「割安」です。一般の往復割引航空券でエコノミーとビジネスを比較した場合、ビジネスのチケットはエコノミーの3倍あるいは4倍することもざらです。また機内の快適性も雲泥の差であり、特に今回のように8時間以上の長距離便区間ではその差を歴然と感じます。エコノミークラスの長距離は非常に窮屈ではっきり言って「苦痛」以外の何者でもありません。一方ビジネスクラスはたいていベットに近い状態にまで足をのばせます。

次にエコノミークラスでかつ旅行日数をどうしても短くしたくない場合は世界一周航空券をあきらめます。
現実的な方法としては英国航空で旅程を統一してしまうやり方があるでしょう。
例えば10/21から10/28までの休暇としましょう。
10/21 成田(10:55)－（直行便）－ロンドン(14:50頃)
ロンドン3泊4日滞在（ロンドン滞在は実質2日半）
10/24 ロンドン(8:55)-(直行便)－ニューヨーク(11:20)
ニューヨーク2泊3日滞在（ニューヨーク滞在は実質2日半）
10/26 ニューヨーク(22:25)-(直行便)－ロンドン（10/27の9:25着・乗り換え・12:35発）－（直行便）－成田（10/28の9:10着）

料金は航空券そのものが23万円＋税金や特別料金など＝合計28万円
です。

この価格でよいなら英国航空のサイトでできますが初心者にはちと難しいかも・・・。航空会社オフィスに電話したほうがよいでしょう。おそらく日本の旅行代理店では扱えないことが多いと思います。

ここまではご希望の旅を叶えるための手段です。
が、米国と欧州を短期間で一度に回るとこのように結構面倒でお金もかかるのでどっちか一方にしぼることが一般的です。英国にしてもニューヨークにしても1週間かけてまわるべきみどころがそれぞれたくさんあると思います。