ホステルは

Westbanhofの近くで、U3でStephanplatzなどに直通なので、便利だと思いますよ。
その駅周辺に行ったことがないので街の雰囲気がちょっと分からないですが、口コミとか見ると良さそうなところですね。
私はホテルはBooking.comなどで探して予約しています。
ウィーンでは、オペラの後に歩いて帰れる、ウィーン気分が味わえるクラシック(笑)な内装のところ、という条件で探しました。
朝食付きで一部屋100€以下のツインも、旧市街にはいくつかあるみたいです。
ただ、予約されたホステルのサイトを拝見すると、旅行者同士で仲良くなったり出来そうで、それもまた楽しそうだなーと思います。
ちなみにプラハでは屋根裏部屋に泊まるというコンセプト(？)でU Medvidku-Brewery Hotelにしています。

航空会社は、オーストリア航空を利用しました。
乗り換えは面倒だし時間のロスもあるし、直通に勝るものなしと思って費用は二の次にしました。
スターアライアンスでマイレージ貯めてましたし。
9月だと、12万円台(サーチャージ別)からになるようですね。
サービスも設備も良いですし、プラハから帰る時のウィーン乗換接続も良いですし、そんなに悪い評判は聞きません。色々な航空会社のランキングでもだいたい20位以内に入っています。
もしお父様に甘えることが出来るのであれば、検討されてみては？

追加

直行便ならウィーン到着が15：40ですので、17時前には市内に到着できます。
場所によっては着いたその日に観光可能です。
シュテファン寺院は22時まで入場できますし、木曜日ならば美術史美術館は21時まで、王宮図書館は19時まで開いています。
ザッハートルテで有名な、ホテルザッハーのカフェも24時まで営業しています。
私は到着日に、フォルクスオパーにオペラを見に行きました。
コンサートやミュージカルなどに行くこともできると思います。
1泊滞在を延ばされるとのことですので、時間に追われる必要はないのかもしれませんが、ご参考までに。