答えになってないかもしれませんが

モンゴルのATMでJCBは微妙ですね。
何回もモンゴルに行きましたが見たことありません。
私自身あまり気にしてないのかもしれませんが、ほとんどがビザかマスターです。
マスターかビザなら大丈夫ですけど、JCBでもCirrusという刻印があれば使えるかもしれません。
ただし、ATMにもCirrusと書いてあればですが

まず、モンゴルのどこの都市なのか？
ウランバートルでも微妙ですし、モンゴル国境ですらビザかマスターしか使えません

一番は空港で両替するかホテルか銀行での両替がいいと思います。

カードが飲みこまれるですがこれは原因はよくわかりません。
何点か
操作が遅い・暗証番号の入力ミス(何度も)・滞納・機械自体が悪いかくらいだと思います。
参考になるかどうかわかりませんがATMで日立製なら安心だと思います。

私はATMで幸いにもそういったトラブルはまだないですし、スキミング等ありますから空港かホテルでしてます。
カードは万が一足りなくなった場合です。