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アシアナ航空の支店・街中の旅行会社、航空券を扱っている場所なら何処でも購入可能です。
発券手数料が数千円程度上乗せしますけど。

行きたい日付でアシアナの予約にでも電話して値段だけでも聞いてみてはどうですか？

値段を聞くだけなら電話代だけで済みます。
空席の状況も一緒に聞けばいいですよ。